İrrasyonel Sayıların Keşfi ve Hippasus

0
2120
görüntülenme
İrrasyonel Sayıların Keşfi ve Hippasus
İrrasyonel Sayıların Keşfi ve Hippasus

Yunan mitlerindeki pek çok kahraman gibi filozof Hippasus‘un da tanrılar tarafından cezalandırıldığı rivayet edilir. Peki ama suçu neydi? Kutsal bir ritüeli mi bölmüştü? Hayır, Hippasus’un günahı matematiksel bir kanıttı: İrrasyonel sayıların keşfi.

Hippasus, sayılara dinsel bir saygı besleyen Pisagorcu Matematikçiler adlı bir topluluğa üyeydi. “Her şey sayıdır” şeklindeki vecizeleri, evrenin yapı taşlarının sayılar olduğunu ileri sürüyordu. Bilim ve metafizikten, müziğe ve ahlak kurallarına kadar her şeyin sayıların oranları ile tanımlanabilen ebedi yasaları izlediği de inançları arasındaydı. Dolayısıyla, her sayı böyle bir oran biçiminde yazılabilirdi. 5’i 5/1 olarak, 0,5’i 1/2 olarak yazmak gibi. Sonsuza uzayan bir ondalık sayı bile tam olarak ifade edilebilirdi. Bugün bunların tümüne irrasyonel sayılar diyoruz. Ama Hippasus bu ahenkli yasayı ihlal eden bir sayı bulmuştu; var olmaması gereken bir sayı.

Sorun basit bir şekil ile başladı: kenarları 1 birim olan bir kare. Pisagor Teoremi’ne göre köşegen uzunluğu 2’nin karekökü olmalıydı. Fakat Hippasus ne kadar denese de, bunu iki tam sayının oranı biçiminde ifade edemedi. Vazgeçmek yerine, bunun yapılamayacağını kanıtlamaya karar verdi. Hippasus, Pisagorcu dünya görüşünün doğru olduğunu varsayarak başladı: Kök 2’yi iki tam sayının oranı şeklinde yazmak mümkün olsun. Bu varsayımsal tam sayılara p ve q dedi. Oranın en basit haline indirgendiğini ve p ile q’nun ortak çarpanı olmadığını varsaydı. Kök 2’nin rasyonel olmadığını kanıtlamak için Hippasus’un p/q’nun var olamayacağını kanıtlaması gerekiyordu. Eşitliğin iki tarafını q ile çarpıp iki tarafın karekökünü aldı ve bu eşitliği elde etti. Bir sayıyı 2 ile çarpınca sonuç çift sayı çıkar. o zaman p^2 çift sayı olmalıdır. Eğer p tek sayı ise bu doğru olamaz, çünkü tek bir sayının kendisi ile çarpımı yine tek bir sayı verir. Bu nedenle p sayısı da çift sayı olmalıdır. O halde, a bir tam sayı olmak üzere, p’yi 2a olarak ifade edebiliriz. Denkleme bunu yerleştirip sadeleştirince, q^2 = 2a^2 çıkar. Yine, herhangi bir sayının 2 ile çarpımı çift sayı vereceğinden, q^2 çift sayı olmalıdır. Dolayısıyla q sayısı da çift sayı olmalıdır. Yani hem p, hem de q çift sayıdır. Fakat eğer bu doğruysa, bir ortak çarpanları var demektir: 2 sayısı. Ama bu da başlangıç ifadesine ters düşüyor. İşte böylelikle, Hippasus öyle bir oranın var olmadığı sonucuna ulaştı. Buna “olmayan ergi” ile kanıtlamak adı verilir. Ve rivayete göre, tanrılar böyle bir yadsınmaktan hiç hoşlanmaz.

İşin ilginci, her ne kadar irrasyonel sayıları tam sayıların oranı olarak ifade edemesek de, bazılarını sayı doğrusu çizerek gösterebiliriz. Kök 2’yi ele alalım. Tek yapmamız gereken, iki kenarı 1 birim olan bir dik üçgen çizmek. Hipotenüsün uzunluğu kök 2 olur ve bu uzunluk eksene yatırılabilir. Ardından tabanı da bu uzunlukta olan ve yüksekliği 1 birim olan diğer bir dik üçgen çizebiliriz. Bu üçgenin hipotenüsü de kök 3 olur ve uzunluk eksene yatırılabilir. Buradaki önemli nokta, ondalık sayıların ve oranların, sayıları ifade etmenin tek yolu olması. Kök 2, kenarları 1 birim olan dik üçgenin hipotenüsüdür. Benzer biçimde, ünlü irrasyonel sayı pi (π) her zaman temsil ettiği şeye eşittir tam olarak: bir çemberin çevresinin çapına oranı. 22/7 veya 355/113 gibi yaklaştırmalar, hiçbir zaman pi’ye eşit olamaz.

Hippasus’a gerçekte ne olduğunu asla bilemeyeceğiz, ama bildiğimiz bir şey var ki, keşfi matematikte devrim yarattı. O yüzden mitler ne derse desin, olanaksızın peşine düşmekten çekinmeyin.

Paylaş

Bir Cevap Yazın